Окончил консерваторию в г. Кромержиж в Чехии (класс профессора Милослава Гайдоша), а также Академию театрального и музыкального искусства им. Л. Яначека в Брно (класс профессора Иржи Бортличека). Во время учебы принимал участие в ряде конкурсов исполнительского мастерства и стал лауреатом многочисленных премий.
Уже 23 года Милослав Елинек является концертмейстером группы контрабасов в Филармоническом оркестре Брно. В настоящее время он занимает должность профессора в Академии театрального и музыкального искусства им. Л. Яначека в Брно и в Академии музыки им. К. Липиньского. Основатель и председатель Чешского общества контрабасистов.
Сотрудничает с различными камерными ансамблями (например, струнным квартетом им. Яначека, струнным квартетом Бриндизи, квартетом Уоллингера). Каждый год в сентябре он устраивает Международный съезд контрабасистов в Брно. Имеет большое количество записей на радио, телевидении, а также в виде компакт-дисков (его последний компакт-диск – эволюция контрабаса за три музыкальных столетия) и вместе со своей супругой Марцелой Елинковой (фортепиано) дает концерты в Чехии и за рубежом.
Выступает в качестве солиста с такими симфоническими оркестрами как Филармонический оркестр Брно, филармонический оркестр им. Б. Мартину, Моравийский филармонический оркестр Оломоуца, камерный филармонический оркестр Южной Богемии, камерный оркестр Брно, ансамбль «Чешские камерные солисты» и многими другими. Милослав Елинек исполняет много современных музыкальных произведений, написанных специально для него, например, таких композиторов как Иржи Матыс, Тони Осборн, Милош Штедрон, Франтишек Эммерт, Леош Фалтус и другие.
Милослав проводит семинары и мастер-классы в разных странах (Китай, Дания, Германия, Польша, Венгрия, Болгария, Россия, Латвия, Сингапур, США и многие другие.) и принимает участие в жюри международных музыкальных конкурсов.
